viernes, 5 de mayo de 2017

Transformada Rápida de Fourier (FFT) - 1

Una de las cosas (de tantas y tantas) que me ha llamado siempre la atención son los temas relacionados con DSP (Digital Signal Processing), el procesado digital de señales. Desde el diseño de filtros digitales (FIR - Finite Impulse Response e IIR - Infinite Impulse Response) hasta el análisis espectral, pasando por los conversores ADC y DAC, etc.


En esta ocasión quiero plasmar aquí para futuras consultas y para todo aquel al que le pueda venir bien, un pequeño estudio sobre una de las herramientas matemáticas más importantes en el procesado digital de señales, se trata de la Transformada de Fourier y más concretamente de la FFT (Transformada Rápida de Fourier).


La FFT es una herramienta o proceso matemático que nos permite transformar una señal en el dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. Habitualmente solemos representar las señales en el dominio del tiempo, mostrando su amplitud y frecuencia en función del tiempo, pero en el caso de la transformada de Fourier de lo que se trata es de obtener los valores de frecuencia, amplitud o magnitud y fase de una señal "compleja" que puede estar compuesta por varias señales de distintas frecuencias y amplitudes, así como de una componente en continua (DC - Direct Current).


Supongamos que tenemos una señal compuesta por una componente en continua de 2 voltios, más una señal de 50Hz y 3.3 Voltios y otra de 75Hz 1.35Voltios, como la siguiente:


ph1 = pi*-30/180
ph2 = pi*90/180
S1 = 3.0 * cos(2*pi*50*t+ph1)
S2 = 1.5*cos(2*pi*75*t+ph2)
Signal = 2 + S1 + S2


cuya representación gráfica sería la siguiente:


Partiendo de esta base, podemos calcular la FFT por ejemplo utilizando MATLAB, de la siguiente manera:


Y = fft(Signal, N);     % Calculo de la FFT
YM = (abs(Y));         % Modulo o Magnitud de los N valores de la FFT
plot(YM(1:N));         % Grafica de la FFT


Lo que hacemos en primer lugar es calcular la FFT de la señal, lo cual dejará en el array 'Y' una lista de N valores de números complejos en la forma a+bi. Posteriormente, se calcula la magnitud o módulo de dichos valores y se almacena en un nuevo array 'YM' (sqrt(a^2 + b^2)) y finalmente mostramos la gráfica resultante, la cual podemos ver a continuación:




En esta gráfica ya podemos ver como en N=0 tenemos un pico con un valor de 512 y correspondería con una señal de frecuencia 0Hz, lo cual sabemos que se corresponde con la componente continua (DC) de la señal. El siguiente "pico" que observamos es el de la señal de 50 Hz con un módulo de 380 aprox. y por último otro pico que corresponde con la señal de 75Hz y un módulo de 190 aprox.


Llegados a este punto ya podemos ver como con la FFT estamos siendo capaces de obtener las distintas frecuencias que componen la señal "compleja" original.


En otro post, veremos como calcular la amplitud y la fase de ambas señales así como la tensión de la componente continua u offset de la señal original.

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